فضاهای باناخ با جبرهای کالکین کوچک

در این نوشتار فضاهای باناخ با جبرهای کالکین کوچک و مفاهیم مرتبط با آن مانند عملگرهای غیراساسی و فضاهای تجزیه ناپذیر را بررسی می کنیم. مفهوم جبر کالکین نخستین بار توسط ج. کالکین برای عملگرهای فشرده ی فضاهای هیلبرت بیان شده است. اگر h یک فضــای هیلبرت باشد، جبـر خارج قسمتی (b(h))?(k(h)) را جبـر کالکین متنـاظر با k(h) می نامیم. مفهوم جبرهای کالکین روی فضاهای باناخ توسط ب. یود گسترش داده شده است. در این گسترش عملگرهای فردهلم و قضیه ی آتکینسن نقش اساسی دارند. با کمک قضیه ی آتکینسن روش خوبی برای تشخیص عملگرهای فردهلم داریم. از آنجا که عملگرهای فردهلم با کمک زیرفضـاها تعریف می شوند، تعریف آن ها در فضاهای مختلف امکان پذیر است. با توجه به قضیه ی آتکینسن ایده ی زیر برای تعریف جبرهای کالکین به ذهن می رسد. ایده آل دوطرفه ی a(x) در b(x) را در نظر می گیریم که در این ویژگی صدق می کنند: عملگر t?b(x) فردهلم است اگر و تنها اگر t+a(x) در (b(x))?(a(x)) وارون پذیر باشد. در این حالت (b(x))?(a(x)) را جبر کالکین متناظر با ایده آل a(x) می نامیم. با این دیدگاه جبر کالکین یکتا نیست و ممکن است جبرهای کالکین متنوعی روی یک فضا داشته باشیم؛ در اینجـا علاقه مندیم تا با کمک ابزارهای مناسب به ویژه مفهـوم عملگـرهای غیـر اساسی رده ی مهم و ساده ای از جبرهای کالکین را که نسبتا کوچک هستند معرفی کنیم. مفهوم کوچک بودن در اینجا اشاره به بعد فضا دارد. در این پایان نامه نشان می دهیم که (b(x))?(a(x)) یک جبر کالکین است اگر و تنها اگر a(x) شامل بستار ایده آل عملگـرهای رتبه متنـاهی و مشمول در ایده آل عملگـرهای غیـراساسی باشـد. به عنـوان مثال هایی، ما فضای عملگـرهای فشـرده، عملگـرهای اکیدا تکین، عملگـرهای اکیدا هم تکین و عملگـرهای غیـراساسی را بررسی می کنیم. همچنین می توانیم رده های پراش در نظریه ی فردهلم را به عنوان مثال هایی برای ساختن جبرهای کالکین در نظر بگیریم.